Спектральный анализ колебаний в нелинейных преобразователях: метод кратных дуг, метод трех и пяти ординат, Метод функций Бесселя

Общие сведения

При изучении процессов нелинейных преобразований в первую очередь приходится решать задачу нахождения спектра колебаний на выходе преобразователей. Данная задача формулируется следующим образом.

Имеется безынерционный нелинейный преобразователь, характеристика которого аппроксимируется зависимостью i = f(u). На вход этого преобразователя поступает так называемое полигармоническое колебание вида

В частном случае это может быть моногармоническое колебание вида
u(t) = Ucos(?t + ?).

Необходимо определить спектр тока i на выходе преобразователя. Такая задача получила название “спектральный анализ”. Для решения этой задачи можно использовать аппарат рассмотренных ранее рядов Фурье. Однако такой метод определения спектра отклика оказывается весьма трудоемким, поэтому на практике применяются специальные методы спектрального анализа, связанные с рассмотренными ранее методами аппроксимации характеристик нелинейных преобразователей. При этом наибольшее распространение получили:

• метод кратных дуг;
• метод формул трех и пяти ординат;
• метод функций Бесселя от мнимого аргумента;
• метод угла отсечки.

Метод кратных дуг

Данный метод является основным при использовании полиномиальной аппроксимации. Его удобно применять при анализе нелинейных преобразований в процессе модуляции, демодуляции, преобразования и деления частоты.

Пусть вольт-амперная характеристика нелинейного резистивного элемента аппроксимирована многочленом n-й степени:

На вход преобразователя подается гармоническое колебание вида
u(t) = Ucos(?t + ?).

Выполнив соответствующие подстановки, получим

Воспользуемся следующими известными формулами:

позволяющими степени косинусов (синусов) заменить тригонометрическими формулами кратных аргументов, отсюда и происходит название данного метода.

Предположим x = ?t + ?, тогда, выполнив очевидные подстановки, получим:

Здесь

При произвольном номере гармоники общее выражение для тока имеет вид

Спектр амплитуд тока на выходе нелинейного преобразователя при воздействии одного гармонического колебания показан на рис. 3.5, а.

Из сказанного можно сделать следующие выводы.

1. Выходной спектр нелинейного преобразователя при воздействии гармонического сигнала является линейчатым. При этом составляющие сигнала имеют частоты, кратные частоте входного сигнала. Наивысший номер составляющей спектра равен степени аппроксимирующего полинома.
2. Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются только четными степенями напряжения.
3. Значение текущей фазы k-й гармоники больше значения фазы входного сигнала в k раз, т.е. (Формула), откуда (Формула).

Ранее отмечалось, что нелинейные преобразования вызывают появление новых спектральных составляющих, которых не было на входе. Данный эффект проявляется наиболее ярко, если на вход преобразователя подается колебание, являющееся суммой нескольких гармоник с различными частотами.

Пусть на нелинейный резистивный элемент поступает так называемое бигармоническое колебание вида

Рис. 3.5. Амплитудные спектры тока на выходе нелинейною преобразователя при воздействии одного (а) и двух (б) гармонических колебаний

Для упрощения анализа рассмотрим случай, когда вольт-амперная характеристика описывается многочленом 2-й степени (т.е. слабо нелинейный режим):

Выполним соответствующие подстановки:

Из этого выражения видно, что в выходном колебании содержатся составляющие, которые имелись в спектре входного колебания, а также появились и новые гармоники. Иными словами, на выходе имеются постоянная составляющая и первые, вторые гармоники входных сигналов. Принципиально новым является появление двух комбинационных колебаний с частотами (Формула) и (Формула). Амплитуды этих колебаний, равные (Формула), в одинаковой степени зависят от амплитуд каждого из входных сигналов. Комбинационные колебания обращаются в нуль, если на входе устройства отсутствует любой из двух входных сигналов.

Спектр амплитуд тока для рассмотренного случая показан на рис. 3.5, б.

Метод трех и пяти ординат

Данный метод применяют, как правило, при графических расчетах для оценки нелинейных искажений, возникающих в модуляторах, усилителях и других устройствах. Его отличительной особенностью является то, что в нем не требуется осуществлять аппроксимацию вольт-амперной характеристики нелинейного элемента.

Метод формул трех ординат позволяет определить значения постоянной составляющей и амплитуды первых двух гармоник тока в следующем виде:

Пусть характеристика нелинейного преобразователя задана графически (рис. 3.6).

Выберем на графике три ординаты и потребуем, чтобы значения тока в этих точках совпадали с его действительными значениями. Иными словами, возьмем следующие точки:

Рис. 3.6. Определение значений гармоник тока посредством выбора ординат характеристики нелинейного преобразователя

Подставив выбранные значения в формулу для тока, получим систему из трех уравнений:

Решив эту систему уравнений относительно (Формула), получим:

Аналогично используют формулу пяти ординат для определения значений тока первых четырех гармоник. В этом случае точность расчетов будет выше. Однако в целом точность нахождения амплитуд гармоник с использованием данного метода невысока: ошибка растет с увеличением амплитуды подводимого напряжения.

Метод функций Бесселя

Данный метод применяется при анализе работы демодуляторов и преобразователей частоты в случае, когда вольт-амперная характеристика аппроксимируется экспоненциальной функцией.

Пусть имеется нелинейный преобразователь в виде полупроводникового диода, характеристика которого аппроксимирована выражением

На его вход подается напряжение
u(t) = E + Ucos?t.

Подставив это напряжение в аппроксимирующее выражение, получим

Это выражение можно представить в виде ряда Фурье, для чего необходимо найти коэффициенты разложения, использовав выражения из теории функций Бесселя:

— модифицированная функция Бесселя n-го порядка от аргумента х.

При этом  x = ?U, ? = ?t.

Тогда разложение в ряд Фурье будет иметь следующий вид:

Из этого разложения видно, что постоянная составляющая тока

амплитуда первой гармоники

амплитуда n-й гармоники

Расчеты по данным выражениям показывают, что с увеличением номера гармоники ее амплитуда уменьшается. При выполнении расчетов можно использовать подробные таблицы функций Бесселя, приведенные в специальных справочниках.

Метод угла отсечки

Метод угла отсечки применяют при кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных характеристик. Он весьма эффективен для расчетов умножителей частоты, усилителей и генераторов, собранных на полупроводниковых приборах и лампах.

Пусть имеется нелинейный преобразователь, вольт-амперная характеристика которого аппроксимирована соотношением

где S — крутизна характеристики; U0 — напряжение отсечки.

На рис. 3.7 эта характеристика представляет собой две прямые линии.

Рассмотрим воздействие напряжения
u = E + Ucos?t,
где ? — напряжение смещения, которое определяет рабочую точку.

Из рис. 3.7 видно, что нелинейный элемент работает с отсечкой, т.е. часть входного напряжения, которая не заштрихована, не участвует в создании тока. Получаемые при этом импульсы тока характеризуются двумя величинами: высотой (Формула) и шириной, т. е. углом отсечки, который обозначен ?.

“Углом отсечки” называется часть периода колебания с частотой ?, в течение которого или ток изменяется от максимального значения до нуля, или входное напряжение изменяется от максимального U до U0. Угол отсечки ? = ?t и измеряется в градусах или в радианах. Следовательно, можно записать

откуда

Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до ?, что соответствует линейному режиму работы преобразователя. Если напряжение смещения ? равно напряжению отсечки, то ? = ?/2 , т. е. в этом случае проходят только положительные полупериоды входного сигнала.

Рис. 3.7. Пояснение процессов в нелинейном преобразователе при использовании для расчета метода угла отсечки

Определим значение выходного тока. Для чего подставим выражение входного напряжения u в соотношение, которым аппроксимирована вольт-амперная характеристика:

Поскольку при ?t = ? ток равен нулю (i = 0), можно записать

Вычитанием второго выражения из первого получим
i = SU(cos?t – cos?).

При ?t = 0 выходной ток имеет максимальное значение

, т.е.

Полученная графическим построением периодическая последовательность импульсов тока является четной функцией, поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье, в котором содержатся постоянная составляющая и косинусоидальные гармоники:

Постоянную составляющую найдем из соотношения

— коэффициент постоянной составляющей.

Соответственно амплитуда первой гармоники

Аналогично определяется амплитуда n-й гармоники:

n = 2, 3, 4, …

Иногда при расчете удобнее использовать нормированные коэффициенты гармоник (нормированные относительно значения максимального тока (Формула)):

Эти коэффициенты являются функциями только угла отсечки ?, поэтому для них имеются справочные графики и специальные таблицы, которые удобно применять в расчетах нелинейных преобразователей. Заметим, что для наиболее часто применяемого режима при ? = ?/2

Анализ зависимостей позволяет сделать следующие выводы.

1. Амплитуды гармоник спектра сигнала имеют максимум при оптимальных углах отсечки, которые определяются соотношением ? ? 120°/n. Например, амплитуда второй гармоники максимальна при ? ? 60°, 3-й гармоники — при ? ? 40° и т.д. Данное обстоятельство позволяет выбирать оптимальную рабочую точку при некоторых видах нелинейных преобразований, например при умножении частоты.
2. Амплитуды всех нечетных гармоник (за исключением первой) равны нулю при ? = 90°, что избавляет от нежелательных гармонических составляющих.

Порядок операций при использовании метода угла отсечки

1. Для выбранной рабочей точки по известным значениям амплитуды сигнала U, напряжения смещения Е, напряжения отсечки (Формула) и крутизны ??? S вычисляется угол отсечки:
2. Для найденного угла отсечки ? определяется максимальное значение тока по формуле
3. По графикам или таблицам определяются коэффициенты
4. Вычисляются амплитуды гармонических составляющих

Встречаются в свое удовольствие, на своей территории, проверенные шлюхи Алейск могут приехать к вам, на вашу территорию, проверь сам - redalejsk.ru. В настоящее время существует огромное количество сайтов, но мы рекомендуем именно этот. Позитивные проверенные шлюхи Алейск, восхитительные и горячие, они такие грациозные и стройные, что интимный досуг тебе обеспечен. Окунись в удовольствие.